Міністерство освіти та науки України Національний університет “Львівська політехніка” ЧИСЛОВЕ ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ Інструкція до лабораторної роботи № 5 з курсу “Комп’ютерні методи дослідження систем керування” для студентів базового напрямку 6.0914 “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління” та базового напрямку 050201 “Системна інженерія” Затверджено на засіданні кафедри “Комп’ютеризовані системи автоматики” Протокол № __ від __.___.2007 Львів 2007 Числове обчислення визначених інтегралів: Інструкція до лабораторної роботи № 5 з курсу “Комп’ютерні методи дослідження систем керування” для студентів базового напрямку 6.0914 “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління” та базового напрямку 050201 “Системна інженерія” / Укл.: У.Ю. Дзелендзяк, А.Г. Павельчак, В.В. Самотий – Львів: НУЛП, 2007. – 16 с. Укладачі: У.Ю. Дзелендзяк, к.т.н., доцент А.Г. Павельчак, асистент В.В. Самотий, д.т.н., професор Відповідальний за випуск: А.Й. Наконечний, д.т.н., професор Рецензент: З.Р. Мичуда, д.т.н., професор Мета роботи: вивчити основні методи обчислення визначених інтегралів. 1. Загальні відомості 1.1. Постановка задачі. Нехай нам необхідно знайти визначений інтеграл
, (1.1) де функція
неперервна на проміжку
. Нижню межу інтегрування будемо вважати меншою від верхньої, оскільки випадок
зводиться до
шляхом переходу до інтегралу з протилежним знаком, а при
інтеграл рівний нулю. З курсу математичного аналізу відомо, що точне значення визначеного інтегралу (1.1) обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца
, (1.2) де
– первісна від функції
. Однак на практиці для більшості задач формула (1.2) не має застосування з таких двох причин: а) вигляд функції
не дає можливості безпосереднього інтегрування, тобто первісну неможливо виразити через елементарні функції (наприклад,
,
); б) значення функції
для визначеного проміжку задані у вигляді таблиці. У таких випадках застосовують наближені методи обчислення визначеного інтегралу. 1.2. Аналітичні методи. Ідея аналітичних методів полягає в заміні підінтегральної функції
на проміжку
певною аналітично заданою функцією
, первісна якої знаходиться відносно легко
. (1.3) Наприклад, якщо можливо розкласти функцію
на проміжку
в ряд Тейлора чи тригометричний ряд, то в якості
можемо взяти часткову суму членів цього ряду. Тоді шуканий інтеграл від цієї функції легко обчислюється, оскільки вона є або многочленом, або лінійною комбінацією функцій
та
. Приклад. Обчислимо інтеграл
з похибкою
. Розкладемо експоненту в ряд Тейлора:
Виконавши заміну
на
у цьому ряді, запишемо інтеграл у такому вигляді


1.3. Числові методи. Згідно визначення за Ріманом (1826-1866, знаменитий німецький математик) визначений інтеграл розглядається як границя інтегральної суми, коли відрізок розбиття прямує до нуля
, (1.4) де
,
довільна крапка з інтервалу
. У геометричному змісті інтегральна сума Рімана дорівнює площі криволінійної фігури, обмеженої кривою
, прямими
,
та віссю
(рис. 1а). На основі інтегральної суми Рімана (1.4) і будуються основні числові методи обчислення визначеного інтегралу. Забравши у формулі (1.4) знак границі (
), отримуємо квадратурну формулу
, (1.5) де
– значення функції у вузлах інтерполяції
,
– числові коефіцієнти (ваги квадратурної формули), права частина формули (1.5) – квадратурна сума. В залежності від способу її обчислення отримують різні методи числового інтегрування (квадратурні формули) – методи прямокутників, трапецій, парабол, сплайнів та ін. Якщо на проміжку
ввести рівномірну сітку з кроком
, тоді площа загальної криволінійної фігури буде дорівнювати сумі площ малих криволінійних фігур з основою
(рис. 1б). У геометричному змісті наша задача і полягатиме в наближеному обчисленні цих площ. 2. Метод прямокутників У цьому найпростішому випадку здійснюємо заміну малих криволінійних фігур звичайними прямокут...